ALGORITMA

Silahkan Download Materi >>Disini<<

LOGIKA

 A.     PERNYATAAN DAN KALIMAT TERBUKA

      Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar saja atau salah saja

Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung variabel dan belum dapat ditentukan nilai kebenarannya.

Contoh

a.       5 bilangan ganjil ( pernyataan )

b.      3 bilangan prima ( pernyataan )

c.       2x + 4 = 10 ( kalimat terbuka )

d.      2x + 4 = 10 untuk x = 2 ( pernyataan )

e.       Gadis itu cantik sekali ( bukan pernyataan )

B.     LAMBANG PERNYATAAN DAN NILAI KEBENARAN

Pernyataan dilambangkan dengan huruf kecil ( a, b, c, d, e, ...,dst) sedangkan nilai kebenaran dilambangkan dengan huruf besar ( B = Besar; S = Salah )

C.     INGKARAN PERNYATAAN TUNGGAL

Ingkaran pernyataan tunggal diperoleh dengan cara membubuhkan kata : tidak benar bahwa” di depan pernyataan semula atau menyisipkan kata ” bukan ” atau ”tidak” di tengah pernyataan semula.

Jika pernyataan semula adalah p maka ingkaran dari p dilambangkan dengan ~p

Jika pernyataan semula bernilai benar maka ingkarannya bernilai salah dan sebaliknya.

Contoh

Tentukan ingkaran dari :

1.      5 bilangan ganjil

2.      3 bilangan prima

3.      Gajah binatang berkaki empat

4.      Ayam bukan binatang mamalia

5.      Kucing bukan binatang buas

 Jawaban

1.      Tidak benar bahwa 5 bilangan ganjil atau

5 bukan bilangan ganjil atau

5 bilangan genap

2.      3 bukan bilangan prima

3.      Gajah bukan binatang berkaki empat

4.      Ayam binatang mamalia

5.      Kucing binatang buas

D. PERNYATAAN  MAJEMUK

1.      KONJUNGSI

Konjungsi dari pernyatan p dan q adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari pernyataan p dan pernyataan q dengan menggunakan kata hubung logika ” dan ”.

Kata hubung logika dari konjungsi selain ”dan” adalah meskipun, walaupun, tetapi.

Konjungsi dari pernyataan p dan pernyataan q dilambangkan dengan p ^ q.

Tabel kebenaran dari konjungsi

p	q	p^q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Contoh :

p     :   2 bilangan prima ( pernyataan bernilai benar )

      q     :   3 bilangan komposit (pernyataan bernilai salah )

            p ^ q.:  2 bilangan prima dan 3 bilangan komposit ( pernyataan bernilai salah )

2.   DISJUNGSI

            Disjungsi dari pernyatan p dan q adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari pernyataan p dan pernyataan q dengan menggunakan kata hubung logika ” atau ”.

Disjungsi dari pernyataan p dan pernyataan q dilambangkan dengan p v q.

Tabel kebenaran dari disjungsi

p	q	p v q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Contoh :

       p      : 2 bilangan prima  ( pernyataan bernilai benar )

      q       : 3 bilangan komposit  ( pernyataan bernilai salah)

                  p v q  : 2 bilangan prima atau 3 bilangan komposit  ( pernyataan bernilai benar )

3.      IMPLIKASI

     

Implikasi dari pernyatan p dan q adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari pernyataan p dan pernyataan q dengan menggunakan kata hubung logika ” jika  p maka q ”.

Implikasi dari pernyataan p dan pernyataan q dilambangkan dengan p → q.

             Tabel kebenaran dari implikasi

p	q	p → q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

          p          : 2 bilangan prima  ( pernyataan bernilai benar )

         q          :  3 bilangan komposit  ( pernyataan bernilai salah)

                      p → q  : Jika 2 bilangan prima maka 3 bilangan komposit (pernyataan bernilai salah)

     

4.      BI IMPLIKASI

     

Biimplikasi dari pernyatan p dan q adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari pernyataan p dan pernyataan q dengan menggunakan kata hubung logika ”  p jika dan hanya jika q ”.

Biimplikasi dari pernyataan p dan pernyataan q dilambangkan dengan p ↔ q.

             Tabel kebenaran dari Biimplikasi

p	q	p ↔ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

          p        : 2 bilangan prima  ( pernyataan bernilai benar )

         q         : 3 bilangan komposit  ( pernyataan bernilai salah)

                      p ↔ q : 2 bilangan prima jhj 3 bilangan komposit (pernyataan bernilai salah)

E.     TAUTOLOGI, KONTRADIKSI DAN PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya selalu benar.

      Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya selalu salah.

Dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen  ( = ) jika mempunyai nilai kebenaran yang sama.

Contoh

1.      Dengan menggunakan tabel kebenaran, tunjukkan bahwa [(p → q) ^ p] → q suatu tautologi.

Jawaban

     

p	q	p → q	[(p → q) ^ p]	[(p → q) ^ p] → q
B	B	B	B	B
B	S	S	S	B
S	B	B	S	B
S	S	B	S	B

       Jadi    [(p → q) ^ p] → q  adalah suatu tautologi

2.      Dengan menggunakan tabel kebenaran, tunjukkan bahwa [(p → q) ^ p] ^  ~q suatu kontradiksi

Jawaban

     

p	q	~q	p → q	[(p → q) ^ p]	[(p → q) ^ p] ^  ~q
B	B	S	B	B	S
B	S	B	S	S	S
S	B	S	B	S	S
S	S	B	B	S	S

             Jadi  [(p → q) ^ p] ^  ~q  adalah suatu kontradiksi

  

3.      Dengan menggunakan tabel kebenaran, tunjukkan bahwa ~ ( p v q ) ekuivalen

dengan ~p  ^  ~q.

             Jawaban

             

p	q	~p	~q	p  v  q	~ (p  v  q )	~p ^  ~q
B	B	S	S	B	S	S
B	S	S	B	B	S	S
S	B	B	S	B	S	S
S	S	B	B	S	B	B

      Jadi   ~ ( p v q )  ekuivalen dengan   ~p  ^  ~q.

F.      KONVERS ,  INVERS  DAN  KONTRAPOSISI  DARI SUATU  IMPLIKASI

      Jika diketahui suatu implikasi p  → q  maka

      Konvers :   q  → p 

      Invers :    ~ p  →  ~ q 

      Kontraposisi :    ~ q  →  ~ p 

      Contoh

Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari “ Jika hari ini hari jumat maka siswa kelas X SMA Negei 3 Purworejo melaksanakan kegiatan pramuka”

Jawaban

Konvers            :   Jika siswa kelas X SMA Negei 3 Purworejo melaksanakan kegiatan pramuka maka hari ini hari jumat

Invers               :    Jika hari ini bukan hari jumat maka siswa kelas X SMA Negei 3 Purworejo tidak melaksanakan kegiatan pramuka

Kontraposisi     :    Jika siswa kelas X SMA Negei 3 Purworejo tidak melaksanakan kegiatan pramuka maka hari ini bukan hari jumat

G. INGKARAN  PERNYATAAN   MAJEMUK

      1.   ~ ( p v q )  dengan ~ p  ^  ~ q

2.    ~ ( p ^ q )  dengan  ~ p  v ~ q

3.    ~ (p → q)  dengan  p  ^  ~ q

      4.   ~ ( p ↔ q ) dengan  (p  ^  ~ q) v (~ p ^ q )

      5.   ~ ( p ↔ q ) dengan  (p →   ~ q) v (~ p  →  q )

      Contoh

      Tentukan ingkaran dari   setiap pernyataan majemuk di bawah ini

1.      2 bilangan komposit dan 3 bilangan prima

2.      ²Log 8 = 3 atau   3²  = 9

3.      Jika andi sakit maka andi tidak masuk sekolah

4.      ²Log 8 = 3 jika dan hanya jika  2 ³  = 8

Jawaban

1.      2 bukan bilangan komposit atau 3 bukan bilangan prima

2.      ²Log 8 ≠ 3 dan   3² ≠ 9

3.      Andi sakit dan andi masuk sekolah

4.      ²Log 8 = 3  dan   2 ³  ≠ 8 atau ²Log 8  ≠ 3  dan 2 ³  = 8

H.     PERNYATAAN BERKUANTOR  DAN  INGKARAN PERNYATAAN BERKUANTOR

Kuantor universal

Kuantor universal dinotasikan dengan “  “( dibaca : semua atau untuk setiap )

Contoh pernyataan berkuantor dengan kuantor universal:

a.       Semua kucing berkaki empat

b.      Semua daun berwarna hijau

c.       Semua siswa SMA adalah lulusan SMP

d.      Semua bilangan genap tidak habis dibagi tiga

Semua kucing berkaki empat ekuivalen dengan “ jika x adalah kucing maka x berkaki empat”

Kuantor  eksistensial

Kuantor eksistensial dinotasikan dengan ““ ( dibaca : ada / beberapa / terdapat / sekurang-kurangnya satu)

Contoh pernyataan berkuantor dengan kuantor  eksistensial:

a.       Ada daun yang berwarna kuning

b.      Beberapa  gajah berbadan besar

c.       Ada burung yang tidak bisa terbang

Pernyataan “Ada daun yang berwarna kuning” ekuivalen dengan “ sekurang kurangnya ada satu daun yang berwarna kuning”

INGKARAN PERNYATAAN BERKUANTOR

1.   a :  (x), p(x)

    ~a :  (x) , ~ p(x)

2.      a : (x) ,  p(x)

    ~a : (x),  ~p(x)

Contoh

1.         p        :   Semua kucing berkaki empat

       ~p        :   Ada kucing yang tidak berkaki empat

2.         p        :   Semua daun berwarna hijau

      ~ p       :   Beberapa daun tidak berwarna hijau

3.      p           :  Semua bilangan genap tidak habis dibagi tiga

      ~p        :   Beberapa bilangan genap habis di bagi dua

4.             p        :   Beberapa  gajah berbadan besar

       ~p       :    Semua gajah tidak berbadan besar

5.         p        :   Ada burung yang tidak bisa terbang

      ~ p        :   Semua burung bisa terbang

I.    PENARIKAN KESIMPULAN

Kesimpulan atau konklusi ditarik dari beberapa pernyataan ( premis ) yang diasumsikan bernilai benar. Penarikan kesimpulan dikatakan sah / valid jika konjungsi dari premis-premisnya berimplikasi dengan konklusinya merupakan suatu tautologi.

Ada tiga prinsip penarikan kesimpulan yaitu :

1.   Modus  Ponens                                        

Premis 1  :  p → q

Premis 2  :  p____

Konklusi :  q

2.   Modus Tollens

Premis 1  :  p → q

Premis 2  :  ~q____

Konklusi :  ~p

3.   Silogisme

Premis 1  :  p → q

Premis 2  :  q → r

Konklusi :  p → r

Contoh 1

Premis 1 :  Jika hari ini hari senin maka siswa melaksanakan upacara bendera

Premis 2 :  Hari ini hari senin_______________________________________

Konklusi:  Siswa melaksanakan upacara bendera

Contoh 2

Premis 1 :  Jika hari ini hari senin maka siswa melaksanakan upacara bendera

Premis 2 :  Siswa tidak melaksanakan upacara bendera___________________

Konklusi:   Hari ini bukan hari senin

Contoh 3

Premis 1:Jika hari ini hari senin maka siswa melaksanakan upacara bendera

Premis 2:Jika siswa melaksanakan upacara bendera maka_siswa berseragam osis

Konklusi:  Jika hari ini hari senin maka siswa berseragam osis